Seit sie in den 1940er Jahren erstmals eingesetzt wurden, haben sich Monte-Carlo-Simulationen erheblich weiterentwickelt. Damals wurden sie angewendet, als Wissenschaftler bei der Arbeit an der Atombombe damit die Wahrscheinlichkeit berechneten, dass die Spaltung eines Uranatoms eine Spaltung in einem anderen Atom verursacht. Heute erfahren Sie, wie Sie eine Monte-Carlo-Simulation für eine bekannte technische Formel und eine DOE-Gleichung in Minitab erstellen.
Seit den Anfängen, als Uran knapp war und es wenig Raum für praktische Versuche gab, sind Monte-Carlo-Simulationen ein spezialisiertes Verfahren, um zuverlässige Wahrscheinlichkeiten für simulierte Daten zu berechnen. Heutzutage werden simulierte Daten in vielen Szenarien eingesetzt, von Werkstofftechnik über dieüber die Versieglung der Verpackungen von medizinischen Produkten bis hin zur Stahlproduktion. Sie können in Situationen verwendet werden, in denen die Ressourcen knapp sind oder das Erfassen echter Daten zu teuer oder unpraktisch ist. Mit dem Werkzeug für Monte-Carlo-Simulationen in der Minitab Engage Lösung oder in der Minitab Workspace Software haben Sie folgende Möglichkeiten:
Abhängig von der Anzahl der involvierten Faktoren können Simulationen sehr komplex sein. Grundsätzlich umfassen jedoch alle Monte-Carlo-Simulationen vier einfache Schritte:
Zum Erstellen einer Monte-Carlo-Simulation wird ein quantitatives Modell des Geschäftsvorgangs, Plans oder Prozesses benötigt, der untersucht werden soll. Die mathematische Darstellung des Prozesses wird als Übergangsgleichung bezeichnet. Dabei kann es sich um eine bekannte technische bzw. betriebswirtschaftliche Formel oder um eine Ableitung aus einem Modell handeln, das auf der Grundlage eines Versuchsplans (DOE) oder einer Regressionsanalyse erstellt wurde. Mit Software wie Minitab Engage und dem Minitab Workspace können Sie komplexe Gleichungen erstellen, sogar mit mehreren Antwortvariablen, die möglicherweise voneinander abhängen
Bestimmen Sie für jeden Faktor in der Übergangsgleichung die Datenverteilung. Einige Eingaben weisen möglicherweise eine Normalverteilung auf, andere eine Dreiecksverteilung oder Gleichverteilung. Dann müssen für jede Eingabe die Verteilungsparameter ermittelt werden. So müssen Sie z. B. für Eingaben mit einer Normalverteilung den Mittelwert und die Standardabweichung angeben. Falls Sie nicht genau wissen, wie Ihre Daten verteilt sind, finden Sie in Engage und im Workspace Werkzeuge, die Sie bei dieser Entscheidung unterstützen.
Zum Durchführen einer aussagekräftigen Simulation muss ein großer Satz von Zufallszahlen für jede Eingabe erstellt werden, ungefähr in der Größenordnung von 100.000 Werten. Diese zufälligen Datenpunkte simulieren die Werte, die über einen langen Zeitraum bei den einzelnen Eingaben auftreten würden. Dies klingt nach viel Arbeit, doch hier können Engage und der Workspace ihr Potenzial zeigen. Nachdem die Eingaben und das Modell eingegeben wurden, geschieht der Rest automatisch.
Wenn die simulierten Daten vorliegen, können Sie mit Hilfe der Übergangsgleichung simulierte Ergebnisse berechnen. Wenn Sie das Modell auf eine ausreichend große Menge simulierter Eingabedaten anwenden, erhalten Sie einen zuverlässigen Eindruck davon, wie die Ausgaben des Prozesses über einen längeren Zeitraum mit der gegebenen Streuung bei den Eingaben ausfallen werden.
In einem Fertigungsunternehmen soll die Konstruktion eines Produktvorschlags ausgewertet werden: eine kleine Kolbenpumpe, die 12 ml Flüssigkeit pro Minute fördern soll. Sie möchten die wahrscheinliche Leistung von Tausenden von Pumpen bei einer natürlichen Streuung des Kolbendurchmessers (D), der Hublänge (L) und der Hubzahl pro Minute (RPM) schätzen. Im Idealfall weist der Durchsatz bei Tausenden von Pumpen eine Standardabweichung von höchstens 0,2 ml auf.
In einem Fertigungsunternehmen soll die Konstruktion eines Produktvorschlags ausgewertet werden: eine kleine Kolbenpumpe, die 12 ml Flüssigkeit pro Minute fördern soll. Sie möchten die wahrscheinliche Leistung von Tausenden von Pumpen bei einer natürlichen Streuung des Kolbendurchmessers (D), der Hublänge (L) und der Hubzahl pro Minute (RPM) schätzen. Im Idealfall weist der Durchsatz bei Tausenden von Pumpen eine Standardabweichung von höchstens 0,2 ml auf.
Durchsatz (in ml) = π(D/2)^2 ∗ L ∗ RPM
Nun müssen Sie die Verteilung und Parameter für jede in der Übergangsgleichung verwendete Eingabe definieren. Der Kolbendurchmesser und die Hublänge der Pumpe sind bekannt. Sie müssen jedoch die Hubzahl pro Minute (RPM) berechnen, die zum Erreichen des gewünschten Durchsatzes von 12 ml/Minute erforderlich ist. Das pro Hub gepumpte Volumen wird mit der folgenden Gleichung angegeben:
π(D/2)2 * L
Bei D = 0,8 und L = 2,5 werden mit jedem Hub 1,256 ml verdrängt. Wenn also ein Durchfluss von 12 ml/Minute erreicht werden soll, muss RPM 9,549 betragen.
Auf der Grundlage der Leistung anderer im Unternehmen hergestellter Pumpen können Sie beim Kolbendurchmesser von einer Normalverteilung mit einem Mittelwert von 0,8 cm und einer Standardabweichung von 0,003 cm ausgehen. Die Hublänge weist eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von 2,5 cm und einer Standardabweichung von 0,15 cm auf. Die Hubzahl pro Minute folgt einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 9,549 RPM und einer Standardabweichung von 0,17 RPM.
Klicken Sie oben im Menüband auf die Registerkarte Einfügen, und wählen Sie dann Monte-Carlo-Simulation aus.
Die nächsten Schritte sind ganz einfach: Sie wählen einen Namen für jede Variable aus, legen im Dropdownmenü eine Verteilung fest und geben die Parameter ein. Wir bleiben bei dem oben beschriebenen Beispiel. Wenn Sie sich bei der Verteilung unsicher sind, können Sie Daten zum Festlegen verwenden auswählen. Daraufhin werden Sie aufgefordert, eine CSV-Datei mit Ihren Daten hochzuladen, und müssen einige Optionen auswählen:
Der nächste Schritt besteht im Angeben der Gleichung. Dazu wählen Sie einfach einen Namen für die Ausgabe (hier „Durchsatz“) und dann die richtige Übergangsgleichung, die wir oben ermittelt haben. Sie können auch eine obere und untere Spezifikationsgrenze angeben, um Ihre Simulation vergleichen zu können.
Wählen Sie dann im Menüband aus, wie viele Simulationen ausgeführt werden sollen (100.000 ist ein guter Ausgangswert), und klicken Sie auf die Schaltfläche, um die Simulation zu starten.
Diese Pumpenkonstruktion weist offensichtlich eine zu große Streuung auf und muss weiter optimiert werden, bevor sie in die Produktion übernommen werden kann. Hier lässt sich der Vorteil einer Simulation gut erkennen. Wenn die Pumpe direkt in die Produktion gegangen wäre, hätte dies mit großer Wahrscheinlichkeit zu vielen zurückgewiesenen Pumpen geführt. Mit einer Monte-Carlo-Simulation konnte dieses Ergebnis ermittelt werden, ohne dass Kosten für das Herstellen und Testen Tausender Prototypen angefallen wären oder das Produkt zu früh in die Produktion gegangen wäre.
Fall Sie Zweifel an der Gültigkeit dieser Ergebnisse haben, probieren Sie es selbst aus. Verschiedene Simulationen führen zu geringfügigen Abweichungen, doch das Endergebnis – eine nicht akzeptable Streuung bei dem Durchsatz – wird jedes Mal gleich sein. Das ist die Leistung der Monte-Carlo-Methode.
Dass die Standardabweichung zu groß ist, ist eine wertvolle Erkenntnis, doch Engage und der Workspace können ihr ganzes Potenzial zeigen, wenn es darum geht, diese Situation zu verbessern. Hier kommt die Parameteroptimierung ins Spiel.Betrachten wir die erste Eingabe, den Kolbendurchmesser. Mit einem Durchschnitt von 0,8 liegen die meisten Daten in der Nähe dieses Werts oder innerhalb von einer oder zwei Standardabweichungen. Doch was ist, wenn es für den Durchsatz effizienter wäre, wenn der Kolben einen kleineren Durchmesser hätte? Diese Frage lässt sich mit Hilfe der Parameteroptimierung beantworten.
Bei der Parameteroptimierung müssen wir einen Suchbereich für jede Eingabe angeben. Für dieses Beispiel habe ich der Einfachheit halber einen Bereich für die Standardabweichung von +/- 3 angegeben, den der Algorithmus durchsuchen soll. Dann können wir mit Engage oder dem Workspace die optimalen Einstellungen für die einzelnen Eingaben ermitteln, um unser Ziel zu erreichen: die Standardabweichung zu reduzieren. Es ist wichtig, einen geeigneten Wertebereich auszuwählen.
Achten Sie darauf, dass der gesamte Bereich praktikabel ist – es ist nicht sinnvoll, eine optimale Lösung zu finden, die in der Praxis nicht umgesetzt werden kann.
Wenn Sie die Zielgrößenoptimierung in der Minitab Statistical Software verwendet haben, kennen Sie dieses Konzept bereits. Hier sind unsere Ergebnisse:
Wenn wir die Standardabweichung reduzieren möchten, müssen wir den Ergebnissen entsprechend die Hublänge und die Hubzahl pro Minute verringern. Der Kolbendurchmesser kann ungefähr bei seinem Wert bleiben. Und das Wichtige bei der Monte-Carlo-Simulation: Wir können all dies herausfinden, ohne einen einzigen neuen Prototyp zu bauen oder einen neuen Versuch durchzuführen.
Was geschieht, wenn Sie nicht wissen, welche Gleichung Sie verwenden sollen, oder das Ergebnis eines einzigartigen Prozesses simulieren möchten? Hier können wir die Funktionen für die Versuchsplanung in der Minitab Statistical Software mit den Simulationsfunktionen in Engage oder im Workspace kombinieren.
Ein Elektronikhersteller hat Sie damit beauftragt, das Verfahren für die elektrolytische Reinigung zu optimieren, mit dem Metallteile für die Galvanisierung vorbereitet werden.
Bei der Galvanisierung können Hersteller Rohmaterialien mit einer Schicht eines anderen Metalls beschichten, um bestimmte Eigenschaften zu erzielen.
Die Beschichtung haftet nicht auf einer verschmutzten Oberfläche. In dem Unternehmen wird daher ein Durchlaufsystem für die elektrolytische Reinigung eingesetzt, das mit einer automatischen Galvanisierungsmaschine verbunden ist.
Jedes Teil wird auf einem Förderband in ein Bad getaucht, wobei Spannung an das Teil angelegt und es so gereinigt wird.
Eine unzureichende Reinigung führt zu einem hohen Effektivwert (Root Mean Square, RMS) für die durchschnittliche Rauigkeit und damit zu einer schlechten Oberflächenbeschaffenheit.
Korrekt gereinigte Teile weisen eine glatte Oberfläche und einen geringen RMS auf.
Zum Optimieren des Prozesses können Sie zwei kritische Eingaben anpassen: Spannung (Vdc) und Stromdichte (ASF). Bei diesem Verfahren für die elektrolytische Reinigung liegen die normalerweise geltenden technischen Grenzwerte für Vdc zwischen 3 und 12 Volt. Die Grenzen für die Stromdichte liegen bei 10 und 150 Ampere pro Quadratfuß (ASF).
Sie können keine bewährte Lehrbuchformel für diesen Prozess verwenden. Sie können jedoch einen Wirkungsflächenversuchsplan in Minitab einrichten, um die Übergangsgleichung zu ermitteln. Wirkungsflächenversuchspläne werden häufig zum Optimieren der Zielgröße eingesetzt, indem die besten Einstellungen für die „entscheidenden wenigen“ kontrollierbaren Faktoren gesucht werden.
In diesem Fall ist die Zielgröße die Oberflächenqualität der Teile nach der Reinigung.
Um ein Wirkungsflächenexperiment in Minitab zu erstellen, wählen Sie Statistik > Versuchsplanung (DOE) > Wirkungsfläche > Wirkungsflächenversuchsplan erstellen aus. Da zwei Faktoren vorhanden sind – Spannung (Vdc) und Stromdichte (ASF) – wählen wir einen zentral zusammengesetzten Versuchsplan mit zwei Faktoren aus, der 13 Durchläufe hat.
Wenn Minitab den Versuchsplan erstellt hat, müssen Sie die 13 Durchläufe ausführen, die Daten erfassen und die Oberflächenrauigkeit der 13 Endprodukte aufzeichnen. In Minitab können Sie die DOE-Ergebnisse bequem analysieren, das Modell reduzieren und die Annahmen mit Residuendiagrammen überprüfen. Anhand des abschließenden Modells und der Zielgrößenoptimierung in Minitab können Sie die optimalen Einstellungen für die Variablen ermitteln. In diesem Fall legen Sie die Spannung auf 7,74 und ASF auf 77,8 fest, um einen Rauigkeitswert von 39,4 zu erzielen.
Der Wirkungsflächenversuchsplan führt zu der folgenden Übergangsgleichung für die Monte-Carlo-Simulation:
Rauigkeit = 957,8 − 189,4(Vdc) − 4,81(ASF) + 12,26(Vdc2) + 0,0309(ASF2)
Nun können Sie die Parameter für die Eingaben der Monte-Carlo-Simulation definieren und in Engage oder den Workspace übernehmen.
Beachten Sie, dass die Standardabweichungen bekannt sein oder auf der Grundlage von vorhandenen Informationen zum Prozess geschätzt werden müssen. Dies gilt für alle Monte-Carlo-Eingaben.
Die Spannungswerte weisen eine Normalverteilung mit dem Mittelwert 7,74 Vdc und einer Standardabweichung von 0,14 Vdc auf. Die ASF-Werte (Ampere pro Quadratfuß) weisen eine Normalverteilung mit dem Mittelwert 77,8 ASF und einer Standardabweichung von 3 ASF auf.
Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei Schritt 3. Klicken Sie im Menüband auf Einfügen > Monte-Carlo-Simulation, fügen Sie die Eingaben hinzu, und definieren Sie ihre Parameter. Geben Sie dann das Modell ein. Wenn Sie mit der aktuellen Minitab-Version arbeiten, können Sie mit der rechten Maustaste klicken und An Minitab Engage übertragen oder An Minitab Workspace übertragen auswählen. Ansonsten können Sie das Modell manuell aus der Minitab-Ausgabe kopieren und in das Modellfeld in Engage oder im Workspace einfügen.
Die Zusammenfassung zeigt, dass die zugrunde liegenden Eingaben zwar normalverteilt waren, die RMS-Rauigkeit jedoch keine Normalverteilung aufweist.
Die Zusammenfassung zeigt außerdem, dass die zusammengesetzte Streuung aller Komponenten zu einer Standardabweichung von 0,521 führt.
Gemäß den bekannten Informationen zu dem Prozess handelt es sich dabei um ein gutes Ergebnis.
Auf der Grundlage eines Versuchsplans mit nur 13 Durchläufen kann also bestimmt werden, wie der Prozess in der Praxis aussehen wird.
Da die Grundlage simulierte Daten bilden, werden Ihre Antworten etwas abweichen, sie sollten im Allgemeinen aber richtig sein. Falls nötig, können wir mit der Parameteroptimierung die Antworten anpassen und eine optimale Lösung finden.
Dieser Artikel basiert auf einer Präsentation von Paul Sheehy, Experte für technische Schulungen bei Minitab, bei der ASQ Lean Six Sigma Conference im Februar 2012.