Las simulaciones Monte Carlo han recorrido un largo camino desde que se aplicaron inicialmente en la década de 1940, cuando los científicos que trabajaban en la bomba atómica calcularon las probabilidades de que un átomo de uranio en fisión provocara una reacción de fisión en otro. Hoy examinaremos cómo crear una simulación Monte Carlo para una fórmula de ingeniería conocida y una ecuación de DOE de Minitab.
Desde aquellos días en los que el uranio escaseaba y había poco margen para experimentos de ensayo y error, las simulaciones Monte Carlo siempre se han especializado en calcular probabilidades fiables a partir de datos simulados. Hoy en día, los datos simulados se utilizan habitualmente en muchos escenarios, desde la ingeniería de materiales hasta el sellado de envases de dispositivos médicos y la siderurgia. Se pueden utilizar en muchas situaciones en las que los recursos son limitados o cuando la recopilación de datos reales sería demasiado costosa o poco práctica. Con la herramienta de simulación Monte Carlo de Engage o Workspace, usted podrá:
- Simular el rango de posibles resultados para ayudar en la toma de decisiones.
- Pronosticar resultados financieros o estimar los plazos de los proyectos.
- Comprender la variabilidad en un proceso o sistema.
- Detectar problemas dentro de un proceso o sistema.
- Gestionar el riesgo al entender las relaciones costo-beneficio.
LOS 4 PASOS PARA COMENZAR CON UNA SIMULACIÓN MONTE CARLO
Dependiendo del número de factores que intervienen, las simulaciones pueden ser muy complejas. Sin embargo, a un nivel básico, todas las simulaciones Monte Carlo incluyen cuatro pasos sencillos:
1. IDENTIFICAR LA ECUACIÓN DE TRANSFERENCIA
Para crear una simulación Monte Carlo, necesita un modelo cuantitativo de la actividad, plan o proceso empresarial que desea explorar. La expresión matemática de su proceso se denomina “ecuación de transferencia”. Puede ser una fórmula conocida de ingeniería o de negocios o puede estar basada en un modelo creado a partir de un experimento diseñado (DOE) o análisis de regresión. Software como Minitab Engage y Minitab Workspace le ofrecen la posibilidad de crear ecuaciones complejas, incluso ecuaciones con múltiples respuestas que pueden depender unas de otras.
2. DEFINIR LOS PARÁMETROS DE ENTRADA
Para cada factor de la ecuación de transferencia, determine cómo se distribuyen los datos. Algunas entradas pueden seguir la distribución normal, mientras que otras siguen una distribución triangular o uniforme. Luego, deberá determinar los parámetros de distribución para cada entrada. Por ejemplo, tendría que especificar la media y la desviación estándar para las entradas que sigan una distribución normal. Si no está seguro de la distribución que siguen sus datos, Engage y Workspace incluyen una herramienta que le ayudará a decidir.
3. CONFIGURAR LA SIMULACIÓN
Para que la simulación sea válida, debe crear un conjunto muy grande de datos aleatorios para cada entrada: algo así como 100.000 casos. Estos puntos de datos aleatorios simulan los valores que se observarían durante un período prolongado para cada entrada. Aunque parezca mucho trabajo, aquí es donde Engage y Workspace sobresalen. Una vez que proporcionamos las entradas y el modelo, ellos se ocupan de todo.
4. ANALIZAR LA SALIDA DEL PROCESO
Con los datos simulados, puede utilizar su ecuación de transferencia para calcular los resultados simulados. Realizando corridas con una cantidad suficientemente grande de datos simulados de entrada a través de su modelo, obtendrá una indicación fiable de lo que el proceso generará con el tiempo, dada la variación esperada en las entradas.
LOS 4 PASOS PARA UNA SIMILACIÓN MONTE CARLO UTILIZANDO UNA FÓRMULA DE INGENIERÍA CONOCIDA
Una empresa de manufactura necesita evaluar el diseño de un producto propuesto: una pequeña bomba de pistón que debe bombear 12 ml de fluido por minuto. Usted desea estimar el rendimiento probable en miles de bombas, dada la variación natural del diámetro del pistón (D), la longitud de la carrera (L) y las carreras por minuto (RPM). Lo ideal es que el caudal de la bomba en miles de bombas tenga una desviación estándar de no más de 0,2 ml.
1. Identificar la ecuación de transferencia
El primer paso para realizar una simulación Monte Carlo es determinar la ecuación de transferencia. En este caso, simplemente puede utilizar una fórmula de ingeniería establecida que mida el caudal de la bomba:
Caudal (en ml) = π(D/2)2 ∗ L ∗ RPM
2. Definir los parámetros de entrada
Ahora debe definir la distribución y los parámetros de cada entrada utilizada en la ecuación de transferencia. Usted conoce el diámetro del pistón de la bomba y la longitud de la carrera, pero debe calcular las carreras por minuto (RPM) necesarias para alcanzar el caudal deseado de 12 ml/minuto. El volumen bombeado por carrera se obtiene con esta ecuación:
π(D/2)2 * L
Dado que D = 0,8 y L = 2,5, cada carrera desplaza 1,256 ml. Entonces, para alcanzar un caudal de 12 ml/minuto, el RPM es de 9,549.
Basándose en el rendimiento de otras bombas que ha manufacturado su empresa, usted puede decir que el diámetro del pistón se distribuye normalmente con una media de 0,8 cm y una desviación estándar de 0,003 cm. La longitud de la carrera se distribuye normalmente con una media de 2,5 cm y una desviación estándar de 0,15 cm. Por último, las carreras por minuto se distribuyen normalmente con una media de 9,549 RPM y una desviación estándar de 0,17 RPM.
3. Configurar la simulación en Engage o Workspace
Haga clic en la ficha Insertar en la cinta superior, y luego elija Simulación Monte Carlo.
Lo hicimos fácil para usted: simplemente asigne un nombre a cada variable, seleccione una distribución en el menú desplegable e ingrese los parámetros. Nos ceñiremos a lo que describimos anteriormente. Si no está seguro de una distribución, puede seleccionar Usar datos para decidir. Se le pedirá que cargue un archivo .csv con sus datos, y tendrá algunas opciones para elegir:
4. Simular y analizar la salida del proceso
El siguiente paso es proporcionar la ecuación. Aquí es tan sencillo como asignar un nombre a la salida (el nuestro es Caudal) y escribir la ecuación de transferencia correcta que identificamos anteriormente. También puede agregar límites de especificación superior e inferior para ver cómo se compara su simulación.
A continuación, en la cinta, elija qué tantas simulaciones desea realizar (100.000 es una buena referencia) y haga clic en el botón para ejecutar la simulación.
En el caso de los datos aleatorios generados para escribir este artículo, el caudal medio es de 11,996 sobre la base de 100.000 muestras. En promedio, estamos dentro del objetivo, pero el valor más pequeño fue de 8,7817 y el más grande fue de 15,7057. Ese es un rango muy amplio. La variación transmitida (de todos los componentes) da como resultado una desviación estándar de 0,756 ml, que supera ampliamente el objetivo de 0,2 ml.
Parece que el diseño de esta bomba presenta demasiada variación y debe perfeccionarse antes de pasar a la fase de producción. Aquí es donde empezamos a ver los beneficios de la simulación. Si pasáramos directamente a la producción, muy probablemente, produciríamos demasiadas bombas que serían rechazadas. Con la simulación Monte Carlo, podemos determinar todo esto sin incurrir en el gasto de producir y probar miles de prototipos o ponerlos en producción de forma prematura.
En caso de que se pregunte si estos resultados simulados son consistentes,¡ compruébelo usted mismo! Si realiza diferentes simulaciones, observará pequeñas variaciones, pero el resultado final, una cantidad inaceptable de variación en el caudal, será consistente todas las veces. Ese es el poder del método Monte Carlo.
UN PASO OPCIONAL MÁS: OPTIMIZACIÓN DE PARÁMETROS
Determinar que la desviación estándar es demasiado alta es extremadamente valioso, pero donde Engage y Workspace realmente sobresalen es en su capacidad para ayudar a mejorar la situación. Allí es donde la Optimización de parámetros entra en acción.
Veamos nuestra primera entrada: diámetro del pistón. Con un promedio de 0,8, la mayoría de nuestros datos se acercarán a ese valor, o estarán dentro de una o dos desviaciones estándar. ¿Pero qué pasa si es más eficiente para nuestro caudal que el pistón tenga un diámetro más pequeño? La optimización de parámetros nos ayuda a responder a esa pregunta.
Para realizar la optimización de parámetros, debemos especificar un rango de búsqueda para cada entrada. En este ejemplo, para simplificar, designé un rango de +/- 3 desviaciones estándar para que el algoritmo busque. Luego, Engage o Workspace nos ayudarán a encontrar la configuración óptima para cada entrada para lograr nuestro objetivo, que en este caso es reducir la desviación estándar. Seleccionar el rango apropiado es importante; asegúrese de que todo el rango que proporcione sea factible de ejecutar: de nada sirve encontrar una solución óptima que no sea posible replicar en la fase de producción.
Si ha utilizado el Optimizador de respuestas en Minitab Statistical Software, la idea es similar. Estos son nuestros resultados:
Basándonos en esto, si queremos reducir nuestra desviación estándar, deberíamos reducir la Longitud de la carrera y las Carreras por minuto. El diámetro del pistón puede permanecer en un valor similar. Y recuerde la clave de la simulación Monte Carlo: podemos determinar todo esto sin construir ni un solo prototipo nuevo ni realizar un nuevo experimento.
SIMULACIÓN MONTE CARLO UTILIZANDO UNA ECUACIÓN DE RESPUESTA BASADA EN UN DISEÑO DE EXPERIMENTOS (DOE)
¿Qué pasa si usted no sabe qué ecuación utilizar o si intenta simular el resultado de un proceso único? Aquí es donde podemos combinar las capacidades de experimentos diseñados de Minitab Statistical Software con las capacidades de simulación de Engage o Workspace.
Un fabricante de equipos electrónicos le ha asignado la tarea de mejorar su proceso de electrolimpieza, que prepara las piezas metálicas para la galvanoplastia. Mediante el proceso de galvanoplastia, los fabricantes recubren la materia prima con una capa de un metal diferente para alcanzar las características deseadas. El recubrimiento no se adhiere a una superficie sucia, por lo que la empresa posee un sistema de electrolimpieza de flujo continuo que se conecta a una máquina automática de galvanoplastia. Un sistema transportador sumerge cada pieza en un baño que envía voltaje a través de la pieza, limpiándola. Una limpieza inadecuada produce un alto valor cuadrático medio de rugosidad, o RMS, y un mal acabado superficial. Las piezas que se limpian adecuadamente tienen una superficie lisa y un RMS bajo.
Para optimizar el proceso, puede ajustar dos entradas críticas: el voltaje (Vcc) y la densidad de la corriente (ASF). Para su método de electrolimpieza, los límites de ingeniería típicos de Vcc son de 3 a 12 voltios. Los límites de densidad de la corriente son de 10 a 150 amperios por pie cuadrado (ASF).
1. Identificar la ecuación de transferencia
No existe una fórmula clásica que se pueda utilizar para este proceso, pero sí se puede configurar un DOE de superficie de respuesta en Minitab para determinar la ecuación de transferencia. Los DOE de superficie de respuesta se utilizan frecuentemente para optimizar la respuesta al hallar la mejor configuración para algunos factores controlables de tipo “pocos vitales”.
En este caso, la respuesta será la calidad de la superficie de las piezas después de la limpieza.
Para crear un experimento de superficie de respuesta en Minitab, elija Estadísticas > DOE > Superficie de respuesta > Crear diseño de superficie de respuesta. Puesto que tenemos dos factores—voltaje (Vcc) y densidad de la corriente (ASF)—seleccionaremos un diseño central compuesto de dos factores, que tiene 13 corridas.
Después que Minitab crea su experimento diseñado, usted debe realizar sus 13 corridas experimentales, recolectar los datos y registrar la rugosidad de la superficie de las 13 piezas acabadas. Minitab facilita el análisis de los resultados del DOE, la reducción del modelo y la verificación de los supuestos mediante el uso de gráficas de residuos. Utilizando el modelo final y el optimizador de respuestas de Minitab, puede encontrar la configuración óptima para sus variables. En este caso, el voltaje se establece en 7,74 y la ASF en 77,8 para obtener un valor de rugosidad de 39,4.
El DOE de superficie de respuesta produce la siguiente ecuación de transferencia para la simulación Monte Carlo:
Rugosidad = 957,8 − 189,4(Vcc) − 4,81(ASF) + 12,26(Vcc2) + 0,0309(ASF2)
2. Definir los parámetros de entrada
Ahora puede establecer las definiciones paramétricas para las entradas de su simulación Monte Carlo y llevarlas a Engage o Workspace.
Tenga en cuenta que se deben conocer las desviaciones estándar o se deben estimar con base en el conocimiento actual del proceso. Esto se aplica a todas las entradas de las simulaciones Monte Carlo Los voltios están distribuidos normalmente con una media de 7,74 Vcc y una desviación estándar de 0,14 Vcc. Los amperios por pie cuadrado (ASF) se distribuyen normalmente con una media de 77,8 ASF y una desviación estándar de 3 ASF.
3. Configurar la simulación en Engage o Workspace
Esto funciona exactamente igual que el paso 3. Haga clic en Insertar > Simulación Monte Carlo en la cinta, agregue sus entradas y defina los parámetros, y luego ingrese su modelo. En este caso, si tiene la última versión de Minitab, puede hacer clic con el botón derecho y pulsar Enviar a Engage o Enviar a Minitab Workspace. Si no es así, puede copiarlo manualmente desde la salida de Minitab y pegarlo en el campo del modelo en Engage o Workspace.
4. Simular y analizar la salida del proceso
El resumen muestra que a pesar de que las entradas subyacentes estaban distribuidas normalmente, la distribución de la rugosidad RMS no es normal. El resumen también muestra que la variación transmitida de todos los componentes produce una desviación estándar de 0,521 y el conocimiento del proceso indica que este es un resultado adecuado. Basándonos en un DOE de tan solo 13 corridas, podemos determinar la realidad de lo que se observará en el proceso. De nuevo, puesto que esto se basa en datos simulados, sus respuestas serán ligeramente diferentes, pero las respuestas generales deberían ser correctas. Si es necesario, podemos examinar la optimización de los parámetros para ajustar nuestras respuestas y encontrar una solución óptima.
Este artículo está basado en una presentación realizada por Paul Sheehy, especialista en capacitación técnica de Minitab, durante la Conferencia de la ASQ sobre Six Sigma Esbelto celebrada en febrero de 2012.
¿Está listo para probar las simulaciones Monte Carlo usted mismo con una prueba gratuita de Minitab Workspace?
