Darum ist die Weibull-Verteilung überall willkommen

Am College hatte ich einen Freund, der einfach überall in seinem Element war. Er konnte mit einer Gruppe Professoren zu Mittag essen, dann mit den Hippies im Park Hacky-Sack spielen und den Abend in der finstersten Bar der Stadt mit einer Motorradgang verbringen. Am nächsten Tag dann Fußball mit den Sportstudenten, und die Nacht machte er bei einer LAN-Party mit seinen Gamer-Freunden durch. An einem ganz normalen Wochenende ging er mit einer Gruppe von Straight-Edge-Punkrockern zu einem Konzert auf dem Campus oder zu einer WG-Party, nur um danach mit seinen Freunden aus der Physik-AG Dungeons and Dragons zu spielen.

Er war ein Chamäleon und konnte die Eigenschaften der Menschen, die ihn umgaben, perfekt annehmen und widerspiegeln. Durch diese Flexibilität war er in den unterschiedlichsten Umfeldern immer willkommen.

Sein Name war Wolfgang Weibull, und er war so beliebt, dass die Weibull-Verteilung von Statistikern nach ihm benannt wurde

WARUM IST DIE WEIBULL-VERTEILUNG SO BELIEBT?

Na gut, der letzte Teil stimmt nicht – Wolfgangs Nachname war nicht wirklich Weibull, und die Verteilung wurde nach einer vollkommen anderen Person benannt. Doch als ich zum ersten Mal mit der Weibull-Verteilung zu tun hatte, fiel mir sofort Wolfy ein und wie mühelos er sich in so viele unterschiedliche Situationen einfügen konnte.

So wie Wolfgang ein gesellschaftliches Chamäleon war, so kann auch die Weibull-Verteilung die Eigenschaften von vielen anderen Arten von Verteilungen annehmen. Daher ist sie bei Ingenieuren und Qualitätsexperten besonders beliebt, wodurch sie zur am häufigsten verwendeten Verteilung für die Modellierung von Zuverlässigkeitsdaten geworden ist. In diesen Bereichen wird sie in der Datenanalyse genutzt, weil sie dank ihrer Flexibilität eine Vielzahl von Datensätzen abbilden kann.

Arbeiten Sie mit rechtsschiefen Daten? Kein Problem für Weibull. Linksschiefe Daten? Ebenfalls kein Problem. Symmetrische Daten? Auch dafür ist Weibull ideal. Wegen dieser Flexibilität setzen Ingenieure die Weibull-Verteilung ein, um die Zuverlässigkeit und Materialhaltbarkeit von unterschiedlichsten Produkten zu untersuchen – von Vakuumröhren und Kondensatoren bis hin zu Kugellagern und Relais.

Mit der Weibull-Verteilung können außerdem zunehmende, abnehmende und konstante Hazard-Funktionen modelliert und alle Lebensphasen eines Produkts beschrieben werden.

SO ÄNDERT DIE WEIBULL-KURVE IHRE FORM

Wie flexibel ist die Weibull-Verteilung nun wirklich? Betrachten wir zur Beantwortung dieser Frage einige Beispiele mit Hilfe von Grafik > Darstellung der Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Minitab Statistical Software. Wenn Sie dieses Beispiel in Minitab nachvollziehen möchten und die Software noch nicht haben, können Sie jetzt eine 30-Tage-Demoversion. herunterladen.

Wählen Sie im Dropdownmenü Verteilung die Option Eine anzeigen und dann Weibull aus. Im Dialogfeld können Sie drei Parameter angeben: Form, Skala und Schwellenwert.

Der Schwellenwertparameter gibt die Verschiebung der Verteilung gegenüber 0 an. Dabei bedeutet ein negativer Wert eine Verschiebung nach links und ein positiver Wert eine Verschiebung nach rechts. Alle Daten müssen über dem Schwellenwert liegen. Der Skalenparameter entspricht dem 63,2. Perzentil der Daten. Er definiert die Beziehung zwischen der Weibull-Kurve und dem Schwellenwert (so wie der Mittelwert die Lage einer Normalverteilungskurve definiert). Für unsere Beispiele verwenden wir einen Skalenparameter von 10, d. h., 63,2 % der getesteten Einheiten fallen in den ersten 10 Stunden nach der Schwellenwertzeit aus. Der Formparameter bestimmt die Form der Weibull-Kurve. Durch Ändern der Form können Sie die Eigenschaften einer Vielzahl von Lebensdauerverteilungen modellieren.

In diesem Artikel betrachten wir nur, wie sich der Formparameter auf die Weibull-Kurve auswirkt. Ich werde die Kurven hier einzeln durchgehen, aber wenn Sie sie alle in einem Diagramm sehen möchten, wählen Sie im oben abgebildeten Dialogfeld die Option Parameter variieren aus

WEIBULL-VERTEILUNG MIT FORM KLEINER ALS 1

Beginnen wir mit einer Form zwischen 0 und 1. Die Grafik unten zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit ausgehend von unendlich exponentiell abnimmt. Daten, die diese Verteilung aufweisen, haben anfänglich eine hohe Ausfallrate, die über die Zeit abnimmt, da die fehlerhaften Einheiten aus der Stichprobe herausfallen. Diese Ausfälle werden häufig als Frühausfälle bezeichnet, da sie in der Anfangsphase des Produktlebenszyklus auftreten.

WEIBULL-VERTEILUNG MIT FORM GLEICH 1

Wenn die Form 1 ist, nimmt die Weibull-Verteilung ausgehend von 1/Alpha exponentiell ab, wobei Alpha gleich dem Skalenparameter ist. Dies bedeutet im Grunde, dass die Ausfallrate über die Zeit gleich bleibt. Diese Form der Weibull-Verteilung ist für zufällige Ausfälle und mehrere Ausfallursachen geeignet. Sie kann eingesetzt werden, um die Nutzungsdauer eines Produkts zu modellieren.

WEIBULL-VERTEILUNG MIT FORM ZWISCHEN 1 UND 2

Wenn der Formparameter zwischen 1 und 2 liegt, steigt die Kurve der Weibull-Verteilung schnell auf einen Spitzenwert an und nimmt dann über die Zeit ab. Die Ausfallrate nimmt insgesamt zu, wobei die größte Steigerung zu Beginn auftritt. Diese Form weist auf Ausfälle durch frühen Verschleiß hin.

WEIBULL-VERTEILUNG MIT FORM GLEICH 2

Wenn der Formparameter 2 entspricht, modelliert die Weibull-Verteilung eine linear ansteigende Ausfallrate, bei der das Risiko eines Ausfalls durch Verschleiß über die Lebensdauer eines Produkts zunimmt. Diese Form der Weibull-Verteilung ist auch als Rayleigh-Verteilung bekannt.

WEIBULL-VERTEILUNG MIT FORM ZWISCHEN 3 UND 4

Wenn für die Form ein Wert zwischen 3 und 4 angegeben wird, wird die Weibull-Verteilung symmetrisch und glockenförmig wie eine Normalverteilungskurve. Mit dieser Form der Weibull-Verteilung werden Ausfälle durch schnellen Verschleiß in der letzten Phase des Produktlebenszyklus modelliert, wenn die meisten Ausfälle auftreten.

WEIBULL-VERTEILUNG MIT FORM GRÖẞER ALS 10

Wenn der Formparameter über 10 liegt, ähnelt die Weibull-Verteilung einer Extremwertverteilung. Auch diese Form der Verteilung kann die letzte Phase eines Produktlebenszyklus modellieren.

IST WEIBULL IMMER DIE BESTE WAHL?

Wenn es um Zuverlässigkeit geht, ist die Weibull-Verteilung häufig die erste Wahl. Es ist aber wichtig zu berücksichtigen, dass auch andere Verteilungsfamilien eine Vielzahl von Verteilungsformen abbilden können. Sie sollten die Verteilung wählen, die am besten für Ihre Daten geeignet ist, und dies muss nicht immer eine Weilbull-Verteilung sein. Produktausfälle durch chemische Reaktionen werden beispielsweise meistens mit der lognormalen Verteilung modelliert.

Sie können die Anpassung der Verteilung an Ihre Daten mit der Verteilungsidentifikation in Minitab auswerten Statistik > Zuverlässigkeit/Lebensdauer > Verteilungsanalyse (Rechtszensierung oder Beliebige Zensierung). Weitere Informationen hierzu finden Sie in diesem Artikel zum Ermitteln der Verteilung Ihrer Daten.

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