Pour effectuer une analyse de fiabilité, vous devrez choisir une distribution qui vous permettra de modéliser vos données. Plus la distribution sélectionnée s’ajustera bien à vos données, plus les estimations statistiques issues de la modélisation décriront avec précision la performance réelle de votre produit. En outre, un modèle bien ajusté permet d’obtenir des projections crédibles lors de l'extrapolation, au‐delà de la plage des données de l’échantillon étudié.
Pour choisir une distribution, vous pouvez vous baser sur votre connaissance et votre expérience pratique du produit. Posez‐vous les questions suivantes :
- Les données suivent‐elles une distribution symétrique? Asymétrique dans une direction ?
- Le taux de défaillance est‐il constant? Augmente‐t‐il ? Diminue‐t‐il ?
- Quelle distribution a été utilisée dans le passé dans ce type de situation ?
Vous pouvez également évaluer l'ajustement de vos données à l'aide de la fonction Diagramme d’Identification de Répartition dans Minitab (Stat > Fiabilité / Survie > Analyse de Répartition (troncature à droite ou troncature arbitraire) > Diagramme d’identification de répartition), vous obtiendrez les diagrammes de probabilité pour de nombreuses distributions couramment utilisées dans l'analyse de durées de vie :
- La distribution de Weibull
- La distribution exponentielle
- La distribution lognormale
- La distribution de la plus petite valeur extrême
- La distribution normale
Sauf exception, il est possible de modéliser des données à l’aide de plus d'une distribution, ou avec une distribution qui peut être définie par un, deux, ou trois paramètres. Les différentes distributions qui permettent de modéliser chaque type de situation ont été résumées ci‐dessous :
- Données asymétriques vers la gauche : dans de nombreux cas, vous pouvez utiliser la distribution de Weibull ou de la plus petite valeur extrême
- Données symétriques : Vous pouvez généralement obtenir un bon ajustement avec une distribution de Weibull ou log‐normale. Dans certains cas, vous pouvez aussi utiliser la distribution normale (en fonction de l’épaisseur des queues de distribution) et obtenir des résultats similaires
- Données asymétriques vers la droite : Vous pouvez utiliser soit la distribution de Weibull, soit la distribution log‐normale et obtenir un bon ajustement des données
Des données peuvent parfois être modélisées à l'aide de 2 ou 3 paramètres. Un modèle à 3 paramètres peut, dans certains cas, fournir un meilleur ajustement des données, mais peut également se traduire par un sur‐ajustement du modèle. En général, les experts recommandent de choisir le modèle le plus simple possible, aussi longtemps qu’il s’ajuste bien à vos données. Dans cet article, nous décrirons les caractéristiques de chaque distribution et présenterons quelques applications.
La distribution de Weibull
La distribution de Weibull est une des distributions les plus couramment utilisées pour la modélisation de durées de vie. Cette distribution est facile à interpréter et est extrêmement polyvalente. Grâce à la valeur estimée de son paramètre de forme, β, vous pouvez modéliser les caractéristiques des différentes phases de la durée de vie d’’une pièce, comme indiqué dans le tableau ci‐dessous.
Applications de la distribution de Weibull
La distribution de Weibull permet de modéliser des données qui sont asymétriques vers la droite, asymétriques vers la gauche, ou symétriques. Pour cette raison, cette distribution est utilisée pour évaluer la fiabilité dans des applications très diverses, y compris les tubes à vide, les condensateurs, les roulements à billes, les relais, et les forces mécaniques. La distribution de Weibull peut également être utilisée pour modéliser une fonction de risque qui diminue, augmente ou reste constante, ce qui lui permet de décrire chacune des différentes phases de la durée de vie d'une pièce.
Fonction de risque croissante
Une fonction de risque croissante est probablement la situation la plus fréquente, les produits sont plus susceptibles d'être défaillants avec le temps. Par exemple, de nombreuses pièces mécaniques sujettes à des contraintes ou à l’usure auront un risque croissant de défaillance au cours de leur durée de vie. Des tests d’endurance peuvent aussi être utilisés pour simuler l’usure, telles que l'utilisation d'une machine pour simuler une utilisation prolongée d'une ampoule jusqu'à défaillance. La distribution de Weibull est souvent utilisée pour modéliser ce type de défaillances dues à l’usure.
Fonction de risque décroissante
Une fonction de risque qui diminue indique que les défaillances sont plus susceptibles de se produire au début de la vie d'un produit. Il pourrait s’agir d’une pièce constituée d’un métal qui durcit à l'utilisation, et qui devient ainsi plus dure et résistante avec le temps. Il peut s’agir de bugs dans un programme informatique, qui peuvent être susceptibles d'apparaître au départ, mais ensuite diminuer à mesure que le temps passe. Souvent, ce type de données peut être modélisé en utilisant une distribution de Weibull avec un paramètre de forme inférieur à 1.
Fonction de risque constante
Une fonction de risque constante indique des défaillances qui sont tout aussi susceptibles de se produire à tout moment dans la vie du produit. Cette période de risque de défaillance relativement constant et faible caractérise la partie médiane de la courbe en baignoire (voir ci‐dessous). Cette fonction peut également être modélisée à l'aide de la distribution exponentielle.
Fonction de risque en forme de baignoire
Si la fonction de risque est en forme de baignoire, le risque de défaillance est élevé au début, il diminue rapidement, il reste relativement constant ensuite, puis il augmente à la fin de vie du produit. Ainsi, par exemple, les téléviseurs et les calculatrices de poche présentent généralement une fonction de risque en forme de baignoire. Un autre exemple : les La distribution de Weibull peut être utilisée pour modéliser chaque phase de la fonction de risque en forme de baignoire. Dans la période initiale de défaillances précoces, le risque de défaillance est élevé, puis il diminue rapidement et se stabilise. En règle générale, la diminution du risque se produit sur une période de plusieurs semaines à quelques mois. Cette phase de mortalité précoce peut être modélisée en utilisant un paramètre de forme de Weibull, ß, entre 0 et 1.
Des défauts de fabrication ou de conception, génèrent un risque élevé de défaillance dès le début de l’utilisation d’un produit. Les « défauts de jeunesse » de ce type peuvent être dus à de mauvais soudages de pièces, à des fixations mécaniques défectueuses, à des câblages par fil mal connectés. Pour réduire le risque de mortalité précoce, un test de déverminage initial est souvent nécessaire, comme le rodage (dans des conditions d'exploitation constantes); cycles de mises sous tension (séquences répétées au cours desquelles le produit est mis sous tension puis éteint), et des cycles de température (stress mécaniques et électriques générés par des cycles de variations extrêmes de températures). Après cette phase de risque élevé, les défaillances seront dues à un phénomène normal d’usure, en particulier près de la fin de sa durée de vie prévue, au moment où le risque de défaillance augmente fortement. Cette dernière étape de la vie du produit peut être modélisée en utilisant un paramètre de forme de la distribution de Weibull, ß, supérieur à 3.
Modèle de type « maillon le plus faible »
La distribution de Weibull peut aussi être utilisée pour modéliser des durées de vie lorsque de nombreux processus identiques, parallèles et indépendants sont susceptibles de générer une défaillance, le premier qui atteint un niveau critique détermine le temps de défaillance de l’ensemble. La théorie des valeurs extrêmes sert de base pour ce modèle de type «maillon faible» (de nombreuses « imperfections » dans le produit sont susceptibles d’être à l’origine de la défaillance). La distribution de Weibull peut être théoriquement dérivée de la distribution de la plus petite valeur extrême, elle peut donc aussi fournir un modèle crédible pour des applications de type « maillon le plus faible »» telles que condensateurs, roulements à billes, relais et résistance des matériaux. Toutefois, si la variable peut prendre des valeurs négatives, la distribution de la plus petite valeur extrême est préférable, car la distribution de Weibull ne peut modéliser que des valeurs positives en raison de sa borne inférieure à 0.
La distribution de Weibull est donc extrêmement polyvalente et peut être utilisée pour modéliser un large éventail de donnnées de fiabilité. Cette distribution peut être utilisée pour répondre à des questions telles que :
- Quel sera le pourcentage de pièces défaillantes à l’issue de la période de rodage ? Par exemple, quel sera le pourcentage prévisible de fusibles défaillants suite à une période de rodage de 8 heures ?
- Combien de retours de garantie sont prévisibles pendant la phase de durée de vie utile ? Par exemple, combien de retours de garantie sont prévisibles au cours de la vie utile de 500000 kms pour des pneus ?
- Quand commencera l’usure accélérée d’une pièce ? A quels intervalles des entretiens réguliers doivent‐ils être effectués afin d’éviter que des moteurs ne commencent à s’user ?
La distribution de Weibull n’est plus aussi efficace lorsque les défaillances sont causées par une réaction chimique ou un processus de dégradation comme la corrosion, ces types de défaillances apparaissent souvent dans des dispositifs semi‐conducteurs. En règle générale, ces situations sont modélisées en utilisant la distribution log‐normale.
Exemple 1: Condensateurs
Les condensateurs ont été testés à un niveau de contrainte élevé pour obtenir des défaillances (durée en heures). Les données de durée de vie ont été modélisées par une distribution de Weibull.
Exemple 2: Résistance à la traction
Des ingénieurs ont testé et mesuré la résistance à la traction d’une pièce en alliage. La distribution des données est asymétrique vers la gauche et est modélisée par une distribution de Weibull à 2 paramètres.
Distribution de Rayleigh
Lorsque la distribution de Weibull a un paramètre de forme de 2, elle est identique à la distribution de Rayleigh. Cette distribution est souvent utilisée pour analyser les mesures dans le domaine de l'ingénierie des communications, pour décrire le bruit en sortie de certains récepteurs de transmission. Cette distribution est aussi couramment utilisée pour l’analyse des durées de vie de soupapes de dépression.
La distribution exponentielle
La distribution exponentielle est une distribution simple avec un seul paramètre et est couramment utilisée pour la modélisation de durées de vie. Cette distribution est, en fait, un cas particulier de la distribution de Weibull (voir l'exemple pour une distribution de Weibull avec ß = 1).
Une propriété importante de la distribution exponentielle, est son absence de mémoire, ainsi, la durée de vie restante d'un composant est indépendante de son âge actuel. A contrario, une pièce n'est pas sans mémoire si elle subit un processus d’usure et devient donc susceptible de défaillir plus tard dans sa vie. Cette distribution peut être utilisée pour un taux de défaillance constant sur toute la vie du produit. Le nombre de défaillances dans le temps est généralement exprimé en défaillances par unité de temps, par exemple, le pourcentage de défaillances pour mille heures.
Applications de la distribution exponentielle
La distribution exponentielle fournit un bon modèle pour un produit qui est susceptible de devenir défaillant à tout moment, indépendamment du fait qu'il est neuf, a été utilisé pendant un an ou pendant plusieurs années. La pièce ne devrait donc pas s’user ou «vieillir» au cours de son utilisation.
La distribution exponentielle est souvent utilisée pour modéliser des composants électroniques qui ne commencent à s'user que très longtemps après la fin de la durée de vie normale du système, dans lequel ils ont été installés. Les composants de haute qualité des circuits intégrés, tels que des diodes, transistors, résistances, condensateurs etc. en sont des exemples.
La distribution exponentielle est également considérée comme un excellent modèle pour la longue phase "plate"" (avec un risque de défaillance faible et relativement constant) qui caractérise la partie médiane de la courbe en baignoire. Cette phase correspond à la durée de vie utile du produit appelée "défaillance intrinsèque".
Cependant, la distribution exponentielle ne doit pas être utilisée pour modéliser les durées de vie de composants mécaniques ou électriques qui commencent à subir un phénomène de fatigue, de corrosion ou d’usure, avant la fin de la durée de vie prévue du système, tels que des roulements à billes, ou certains dispositifs de lasers ou des filaments à incandescence.
Exemple 1: Transistors
Un composant électronique a un risque de défaillance constant au cours de la durée de vie prévue du système. Les ingénieurs enregistrent le temps de défaillance du composant dans des conditions normales de fonctionnement.
Exemple 2: Filaments
Un fabricant d’ampoules produit un filament incandescent sensé ne pas défaillir pendant une période prolongée d'utilisation normale. Il veut garantir 10 ans de fonctionnement. Les ingénieurs effectuent des tests sur des ampoules pour simuler une longue période d'utilisation.
La distribution log‐normale
La distribution log‐normale est une distribution flexible étroitement liée à la distribution normale. Cette distribution est particulièrement utile pour la modélisation de données à peu près symétriques ou asymétriques vers la droite.
Comme la distribution de Weibull, la distribution log‐normale peut prendre des allures très différentes en fonction de son paramètre de forme.
La distribution log‐normale et la distribution de Weibull peuvent parfois s'adapter tout aussi bien l’une que l’autre à un échantillon de données de durées de vie. Cependant, il existe une différence importante à considérer. Lorsque vous utilisez ces distributions pour extrapoler au‐delà de la plage des données de l’échantillon, la distribution log‐normale générera des taux de défaillance moyens prévus, plus faibles qu’avec la distribution de Weibull.
Applications de la distribution log‐normale
La distribution log‐normale est le modèle de fiabilité le plus couramment utilisé pour de nombreuses applications de haute technologie. La distribution est basée sur le modèle de croissance multiplicatif, ce qui signifie que, dans le temps, la pièce subit une progression aléatoire de la dégradation, proportionnelle à son état actuel. L'effet multiplicatif de tous ces phénomènes de croissance proportionnels, aléatoires et indépendants, s'accumule pour déclencher une défaillance.
La distribution est souvent utilisée pour modéliser des pièces soumises à des contraintes ou à la fatigue, notamment :
- Défaillance due à des réactions chimiques ou des dégradations, comme la corrosion, la migration, ou la diffusion (défaillances de dispositifs semi‐conducteurs)
- Temps jusqu’à rupture pour des pièces métalliques, due à des fissurations en augmentation
- Diminution du risque de défaillance passé un certain délai (composants électroniques par exemple)
Toutefois, dans le cas où la durée de vie prévue d’un composant est supérieure à la durée de vie technologique du système dans lequel il a été installé (le risque de défaillance d'un composant est alors constant sur toute la durée de vie prévue du système), une distribution exponentielle est plus appropriée.
Exemple 1: Composants électroniques
Les ingénieurs mesurent la durée de vie d'un composant électronique dans des conditions normales de fonctionnement. Le risque de défaillance diminue au cours du temps.
Exemple 2: ventilateurs de groupes électrogènes à diesel
Le temps jusqu'à défaillance a été mesuré au cours de la vie de ventilateurs de générateurs à diesel.
La distribution de la plus petite valeur extrême
La distribution de la plus petite valeur extrême est une distribution limite du minimum d'un très grand nombre d'observations aléatoires issues d’une même distribution arbitraire. La théorie des valeurs extrêmes est un modèle utile dans les situations où de nombreux phénomènes identiques et indépendants peuvent conduire à une défaillance et c’est la première défaillance qui déterminera la durée de vie de l’ensemble du système. Dans ce scénario, de type maillon «le plus faible», la distribution est en général asymétrique vers la gauche.
La relation entre les distributions des valeurs extrêmes et la distribution de Weibull est similaire à celle entre les distributions normales et log‐normales. En effet, le logarithme d'une variable qui suit une distribution de Weibull peut être représenté par une distribution de la plus petite valeur extrême.
En dépit de cette équivalence, les distributions ne sont pas strictement interchangeables dans leurs applications. L'Institut National des Standards et de la technologie américain (NIST) recommande de recourir à la distribution des valeurs extrêmes pour "toute modélisation de la variable qui représente la valeur minimale parmi de nombreux facteurs aléatoires, qui peuvent tous prendre des valeurs positives ou négatives."
La fonction de risque de la distribution de la plus petite valeur extrême est associée à un risque de défaillance qui croît de façon exponentielle.
Cette fonction de risque suggère que la distribution de la plus petite valeur extrême est adaptée à la modélisation de la fiabilité de produits qui subissent une usure très rapide à partir d’une certaine durée. Cela représente la phase finale de la courbe de la baignoire, connue sous le nom de phase d'usure accélérée.
Applications de la distribution de la plus petite valeur extrême
La distribution de la plus petite valeur extrême est souvent appropriée pour les défaillances associées à une charge et/ou une force mécanique. La distribution des valeurs extrêmes est utilisée pour modéliser les valeurs minimales.
Lorsque vous utilisez cette distribution, vous ne vous intéressez pas aux paramètres qui permettent de décrire la plupart de la population, mais seulement aux valeurs extrêmes qui peuvent conduire à une défaillance. En d'autres termes, vous étudiez les imperfections dans les matériaux, qui peuvent causer une contrainte non uniforme sous l’effet d’une charge. La résistance du matériau est donc liée à l'effet de l'imperfection provoquant la plus grande réduction de la résistance (le maillon le plus faible).
Une application courante est la rupture diélectrique des condensateurs, de nombreux défauts sont susceptibles de générer la défaillance. Dans des câblages de semi‐conducteurs, par exemple, des ruptures ou une surchauffe n’apparaîtront généralement pas dans des conditions normales de fonctionnement, sauf s'ils sont soumis à une charge électrique extrême ou si une des liaisons est extrêmement faible. De même, pour que des tubes de refroidissement puissent assurer un transfert de chaleur suffisant, grâce au liquide de refroidissement, leur épaisseur doit être minimale. Mais une défaillance se produira si les gaz de combustion chauds génèrent des trous en un point du tube.
Utilisez la distribution de la plus petite valeur extrême pour répondre à des questions telles que :
- Quel matériau peut résister à la charge la plus importante ?
- Combien de défaillances peut‐on prévoir pendant la période de garantie ?
- Quelle est la force minimale nécessaire pour déchirer un sac lorsque des tests de résistance multiples sont effectués sur des parties différentes de ce sac ?
- Quelle marque de câbles est la mieux à même de résister à une charge de 1000 kilos ?
Exemple 1: Résistance de câbles
Échantillons de câbles d'égales longueurs testés pour résistance à la rupture.
Exemple 2: Pièces en aluminium
Des ingénieurs soumettent une pièce en alliage à 3000 000 cycles et mesurent le nombre de cycles jusqu’à rupture.
La distribution normale
Cette distribution, symétrique et en forme de cloche, est très largement utilisée dans les statistiques. Les applications industrielles génèrent souvent des données normalement distribuées.
Historiquement, la distribution normale n'a pas été aussi couramment utilisée pour analyser les durées de vie que d'autres distributions, sa queue à gauche s'étend vers l'infini négatif, ce qui pourrait conduire à des estimations (erronées) de durées de vie négatives. La plupart des données de fiabilité sont modélisées en utilisant des distributions applicables aux variables aléatoires positives, comme la loi exponentielle, les distributions de Weibull, gamma et lognormale. La distribution normale est donc plus rarement utilisée en fiabilité. Cependant, si la moyenne des données est supérieure à 0 et les variations relativement faibles, la distribution normale peut être utile pour modéliser des durées de vie.
Notez que la distribution normale est très proche de la distribution de Weibull lorsque 3 est inférieur à β qui est inférieur à 4.
Applications de la distribution normale
La distribution normale peut parfois être utilisée pour modéliser la durée de vie de consommables, pour lesquels le risque de défaillance est toujours croissant. Les appareils électriques à incandescence, tels que les ampoules à incandescence et des éléments de grille‐pains, sont des exemples de produits dont les durées de vie peuvent suivre une distribution normale. La force d'une liaison par fil dans des circuits intégrés est un autre exemple.
Exemple 1: Durée de vie de boissons
Pour évaluer la durée de conservation de boissons, le nombre de jours jusqu’à décoloration des boissons en bouteille a été mesuré.
Exemple 2: Fiabilité de Grille‐pains
Des tests ont été effectués sur la durée de vie d’un grille‐pain dont un des composants a été amélioré en termes de conception.
Références bibliographiques
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