As simulações de Monte Carlo percorreram um longo caminho desde que foram aplicadas inicialmente na década de 1940, quando os cientistas que trabalhavam na bomba atômica calcularam as probabilidades de um átomo de urânio em fissão causar uma reação de fissão em outro. Hoje veremos como criar uma simulação de Monte Carlo para uma fórmula de engenharia conhecida e uma equação DOE do Minitab.
Desde aqueles dias em que o urânio era escasso e havia pouco espaço para tentativa e erro experimental, as simulações de Monte Carlo sempre se especializaram em calcular probabilidades confiáveis a partir de dados simulados. Hoje, os dados simulados são usados rotineiramente em muitos cenários, desde engenharia de materiais até selagem de embalagens de dispositivos médicos e fabricação de aço. Ele pode ser usado em muitas situações em que os recursos são limitados ou a coleta de dados reais seria muito cara ou impraticável. Com a ferramenta de simulação Monte Carlo do Engage ou Workspace, você tem a capacidade de:
- Simular a grande variedade de resultados possíveis para ajudar na tomada de decisões.
- Prever resultados financeiros ou estimar os cronogramas do projeto.
- Compreender a variabilidade em um processo ou sistema.
- Encontrar problemas dentro de um processo ou sistema.
- Gerenciar o risco por meio da melhor compreensão das relações custo/benefício.
OS 4 PASSOS PARA COMEÇAR PARA QUALQUER SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO
Dependendo do número de fatores envolvidos, as simulações podem ser muito complexas. Mas em um nível básico, as simulações Monte Carlo têm quatro etapas simples:
1. IDENTIFICAR A EQUAÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Para criar uma simulação de Monte Carlo, você precisa de um modelo quantitativo da atividade, plano ou processo de negócios que deseja explorar. A expressão matemática do seu processo é chamada de "equação de transferência". Ela pode ser uma fórmula de engenharia ou de negócios bem conhecida, ou pode ser baseada em um modelo criado a partir de um experimento projetado (DOE) ou análise de regressão. Softwares como Minitab Engage o Minitab Workspace loferecem a capacidade de criar equações complexas, mesmo aquelas com várias respostas que podem depender umas das outras.
2. DEFINIR OS PARÂMETROS DE ENTRADA
Para cada fator em sua equação de transferência, determine como os dados estão distribuídos. Algumas entradas podem seguir uma distribuição normal, enquanto outras seguem uma distribuição triangular ou uniforme. Depois, é necessário determinar parâmetros de distribuição para cada entrada. Por exemplo, pode ser necessário especificar a média e desvio padrão de entradas que seguem uma distribuição normal. Se você não tiver certeza de qual distribuição seus dados seguem, o Engage e o Workspace têm uma ferramenta para ajudá-lo a decidir.
3. CONFIGURAR A SIMULAÇÃO
Para realizar uma simulação válida, você deve criar um conjunto de dados aleatório muito grande para cada entrada – algo na ordem de 100.000 instâncias. Esses pontos de dados aleatórios simulam os valores que seriam vistos ao longo de um grande período, para cada entrada. Embora pareça muito trabalho, é aqui que o Engage e o Workspace brilham. Uma vez que enviamos as entradas e o modelo, tudo aqui é resolvido.
4. ANALISAR A SAÍDA DO PROCESSO
Com os dados simulados prontos, é possível usar sua equação de transferência para calcular resultados simulados. Executar uma quantidade grande o bastante de dados de entrada simulados, através do seu modelo, fornecerá uma indicação confiável dos resultados do processo ao longo do tempo, dada a variação antecipada nas entradas.
OS 4 PASSOS PARA MONTE CARLO USANDO UMA CONHECIDA FÓRMULA DE ENGENHARIA
Um fabricante precisa avaliar o design de um produto proposto: uma pequena bomba de êmbolo que deve bombear 12 ml de fluido por minuto. Você deseja estimar o desempenho provável em milhares de bombas, dada a variação natural do diâmetro do êmbolo (D), comprimento do curso (L) e cursos por minuto (RPM). Idealmente, o fluxo da bomba em milhares de bombas terá um desvio padrão menor que 0,2 ml.
1. Identificar a equação de transferência
A primeira etapa na simulação de Monte Carlo é determinar a equação de transferência. Neste caso, é possível usar apenas uma fórmula de engenharia estabelecida que meça o fluxo da bomba:
Fluxo (in ml) = π(D/2)2 ∗ L ∗ RPM
2. Definir os parâmetros de entrada
Agora é necessário definir a distribuição e parâmetros de cada entrada usada na equação de transferência. O diâmetro do êmbolo da bomba e comprimento do curso são conhecidos, mas é necessário calcular os cursos por minuto (RPM) necessários para atingir a taxa de fluxo desejada de 12 ml/minuto. O volume bombeado por curso é fornecido por esta equação:
π(D/2)2 * L
Dados D = 0,8 e L = 2,5, cada curso desloca 1,256 ml. Assim, para atingir um fluxo de 12 ml/minuto o RPM é 9,549.
Baseado no desempenho de outras bombas fabricadas em sua fábrica, é possível dizer que o diâmetro do êmbolo tem distribuição normal com uma média de 0,8 cm e desvio padrão de 0,003 cm. O comprimento do curso tem distribuição normal com uma média de 2,5 cm e desvio padrão de 0,15 cm. Finalmente, os cursos por minuto tem distribuição normal com uma média de 9,549 RPM e um desvio padrão de 0,17 RPM.
3. Configurar a simulação no Engage ou Workspace
Clique na guia Inserir na faixa superior e escolha Simulação de Monte Carlo.
Nós facilitamos – basta dar um nome a cada variável, selecionar uma distribuição no menu suspenso e inserir os parâmetros. Vamos ficar com o que descrevemos acima. Se você não tiver certeza de uma distribuição, selecione Usar dados para decidir. Essa opção solicitará que você carregue um arquivo .csv de seus dados e você terá algumas possibilidades de escolha:
4. Simular e analisar os resultados do processo
O próximo passo é dar a equação. Aqui é tão simples quanto dar um nome à sua saída (o nosso é Fluxo) e digitar a equação de transferência correta que identificamos acima. Você também pode adicionar limites de especificação superior e inferior para ver como sua simulação se compara.
Em seguida, na faixa de opções, escolha quantas simulações você deseja executar (100.000 é uma boa linha de base) e clique no botão para executar a simulação.
Para os dados aleatórios gerados para escrever este artigo, a taxa de fluxo média é 12,0004 baseada em 100.000 amostras. Em média, estamos no alvo, mas o menor valor foi 8,7817 e o maior, 15,7057. Isto é um intervalo bastante grande. A variação transmitida (de todos os componentes) resulta em um desvio padrão de 0,756 ml, excedendo em muito o alvo de 0,2 ml.
Parece que este projeto de bomba apresenta muita variação e precisa ser refinado ainda mais antes de entrar em produção. É aqui que começamos a ver o benefício da simulação. Se entrássemos direto na produção, é muito provável que teríamos produzido muitas bombas rejeitadas. Com a Simulação de Monte Carlo, podemos descobrir tudo isso sem incorrer em despesas de fabricação e teste de milhares de protótipos ou colocá-los em produção prematuramente.
Para você não ficar imaginando se estes resultados simulados se sustentam, tente você mesmo! A execução de diferentes simulações resultará em pequenas variações, mas o resultado final – uma quantidade inaceitável de variação na vazão – será sempre consistente. Este é o poder do método de Monte Carlo.
MAIS UM PASSO OPCIONAL: OTIMIZAÇÃO DE PARÂMETROS
Descobrir que o desvio padrão é alto demais é extremamente valioso, mas onde o Engage e o Workspace realmente se destacam é na capacidade de ajudar a melhorar a situação. É aí que entra a Otimização de parâmetros.
Vejamos nossa primeira entrada, diâmetro do pistão. Com uma média de 0,8, a maioria dos nossos dados ficará perto desse valor, ou dentro de um ou dois desvios padrão. Mas e se for mais eficiente para o nosso fluxo que o pistão tenha um diâmetro menor? A otimização de parâmetros nos ajuda a responder a essa pergunta.
Para realizar a otimização de parâmetros, precisamos especificar um intervalo de pesquisa para cada entrada. Por uma questão de simplificação, para este exemplo, projetei um intervalo de desvio padrão de +/- 3 para o algoritmo pesquisar. Então, o Engage ou o Workspace nos ajudarão a encontrar as configurações ideais para cada entrada ou meta a ser alcançada, que neste caso é reduzir o desvio padrão. A seleção do intervalo apropriado é importante; assegure-se de que a execução da faixa completa que você inseriu seja viável; não adianta encontrar uma solução ótima que não possa ser replicada em produção.
Se você já usou o Response Optimizer no Minitab Statistical Software, a ideia é parecida. Aqui estão nossos resultados:
Com base nisso, se quisermos reduzir nosso desvio padrão, devemos reduzir nosso Comprimento do curso e nossos Cursos por minuto. O diâmetro de nosso pistão pode ficar em um lugar semelhante. E lembre-se da chave para a simulação de Monte Carlo – podemos descobrir tudo isso sem construir um único protótipo novo ou realizar um novo experimento.
MONTE CARLO USANDO UMA EQUAÇÃO DE RESPOSTA DO PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS (DOE)
E se você não souber que equação usar ou se você estiver tentando simular o resultado de um processo único? É aqui que podemos combinar os recursos de experimentos planejados do Minitab Statistical Software com os recursos de simulação do Engage ou Workspace.
Um fabricante de componentes eletrônicos designou você para melhorar sua operação de limpeza elétrica, que prepara peças de metal para eletrogalvanização. A eletrogalvanização permite que os fabricantes façam o revestimento de matérias-primas com uma camada de um metal diferente para obter características desejadas. O revestimento não adere à superfície suja, assim a empresa tem um sistema de limpeza elétrica de fluxo contínuo que conecta-se a uma máquina de eletrogalvanização automática. Uma esteira mergulha cada peça em um banho que envia voltagem através da peça, limpando-a. Uma limpeza inadequada resulta em um alto valor quadrático médio de rugosidade, ou RMS, e acabamento de superfície ruim. As peças limpadas corretamente tem uma superfície lisa e baixo RMS.
Para otimizar o processo, é possível ajustar suas entradas críticas: tensão (Vdc) e densidade da corrente (ASF). Para seu método de limpeza elétrica, os limites típicos de engenharia para Vdc são 3 a 12 volts. Os limites de densidade de corrente são 10 a 150 amp por pé quadrado (ASF).
1. Identificar a equação de transferência
Não é possível usar uma fórmula de livro didático estabelecida neste processo, mas é possível configurar um DOE de superfície de resposta no Minitab para determinar a equação de transferência. Os DOEs de superfície de resposta são frequentemente usados para otimizar a resposta encontrando as melhores configurações para uns "poucos vitais" fatores controláveis.
Neste caso, a resposta será a qualidade da superfície das peças após a limpeza.
Para criar um experimento de superfície de resposta no Minitab, escolha Estat > DOE > Superfície de Resposta > Criação de um Experimento de Superfície de Resposta. Como temos dois fatores (tensão [Vdc] e densidade de corrente [ASF])nós selecionaremos um experimento composto central de dois fatores, que tem 13 ensaios.
Depois que o Minitab criar seu experimento projetado, será necessário executar seus 13 ensaios experimentais, coletar os dados e registrar a rugosidade de superfície das 13 peças finalizadas. O Minitab facilita a análise dos resultados do DOE, reduz o modelo e verifica as suposições usando gráficos de resíduos. Usando o modelo final e o otimizador de resposta do Minitab, é possível encontrar as configurações ótimas para suas variáveis. Neste caso, você definiu a tensão em 7,74 e ASF em 77,8 para obter um valor de rugosidade de 39,4.
O DOE de superfície de resposta produz a seguinte equação de transferência para a simulação de Monte Carlo:
Rugosidade = 957.8 − 189.4(Vdc) − 4.81(ASF) + 12.26(Vdc2) + 0.0309(ASF2)
2. Definir os parâmetros de entrada
Agora você pode determinar as definições paramétricas para as entradas da Simulação de Monte Carlo e levá-las para o Engage ou Workspace.
Observe que os desvios padrão devem ser conhecidos ou estimados com base no conhecimento do processo existente. Isso vale para todas as entradas de Monte Carlo. A tensão tem distribuição normal com média de 7,74 Vdc e um desvio padrão de 0,14 Vdc. Amps por pé quadrado (ASF) atem distribuição normal com média de 77,8 ASF e desvio padrão de 3 ASF.
3. Configurar a simulação no Engage ou Workspace
Isso funciona exatamente da mesma forma que o Passo 3. Clique em Inserir > Simulação de Monte Carlo na faixa de opções, adicione suas entradas e defina seus parâmetros e insira seu modelo. Nesse caso, se você tiver a versão mais recente do Minitab, clique com o botão direito do mouse e pressione Enviar para o Engage ou Enviar para o Minitab Workspace. Como alternativa, você pode copiá-lo manualmente da saída do Minitab e colá-lo no campo do modelo no Engage ou Workspace.
4. Simular e analisar os resultados do processo
O sumário mostra que apesar das entradas subjacentes serem distribuídas normalmente, a distribuição do RMS da rugosidade não é normal. O sumário também mostra que a variação transmitida de todos os componentes resulta em um desvio padrão de 0,521 e o conhecimento do processo indica que este é um bom resultado para o processo. Baseado em um DOE com apenas 13 ensaios, é possível determinar a realidade que seria vista no processo. Novamente, como isso é baseado em dados simulados, suas respostas serão um pouco diferentes, mas as respostas gerais devem estar corretas. Se necessário, podemos analisar a otimização de parâmetros para ajustar nossas respostas e encontrar uma solução ideal.
Este artigo é baseado em uma apresentação de Paul Sheehy, especialista em treinamento técnico da Mintab, na conferência ASQ Lean Six Sigma em fevereiro de 2012.
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