Pourquoi la loi de Weibull est-elle souvent la plus utile ? Explications

Auteur Invité | 18 January, 2022

Les Sujets: analyses de capabilité, Diagramme de probabilité, Loi de Weibull, Featured Article, Minitab Statistical Software

A la fac, un de mes amis n'avait aucun problème à se faire accepter par tout le monde et s'intégrait facilement à tous les groupes. Il pouvait déjeuner avec des professeurs, puis traîner au parc avec des hippies tout l'après-midi pour finir sa journée au bar le plus célèbre de la ville. Le lendemain, on pouvait le retrouver sur la pelouse à disputer un match de foot au cours duquel il se mêlait aux sportifs avant de se rendre à une LAN avec d'autres amis amateurs de jeux vidéo. Le week-end, il pouvait se rendre à un concert avec des punks straight-edge de la résidence étudiante connus pour leur abstinence (ni alcool, ni drogues, ni tabac), puis enchaîner avec une grosse fête en ville où la bière coule à flots. Son week-end pouvait même se terminer par une partie de Donjons & Dragons avec ses amis passionnés de physique.

C'était un véritable caméléon ; il prenait les traits des personnes qu'il fréquentait. Grâce à cette capacité à s'adapter qui le caractérisait, il était le bienvenu dans un éventail de cercles sociaux incroyablement divers. 

Il s'appelait Jeff Weibull et sa popularité était telle que les statisticiens ont décidé de donner son nom à une loi de probabilité, la loi de Weibull. 

POURQUOI LA LOI DE WEIBULL EST-ELLE SI POPULAIRE ? 

Pour être honnête, j'ai inventé la fin de cette histoire : le nom de famille de Jeff n'était pas vraiment Weibull, et la loi porte le nom de quelqu'un d'autre.  Pour autant, lorsque j'ai entendu parler de la loi de Weibull pour la première fois, le souvenir de Jeff s'est imposé à moi, lui qui parvenait, en apparence sans le moindre effort, à s'intégrer à la perfection à des environnements sociaux très éclectiques. 

A l'instar de Jeff, caméléon des cercles sociaux, la loi de Weibull peut tenir compte des caractéristiques de différents types de répartitions. Cette capacité l'a rendue extrêmement appréciée des ingénieurs et des professionnels de la qualité, qui en ont fait la loi la plus fréquemment utilisée pour la modélisation des données de fiabilité. Ils choisissent souvent la loi de Weibull pour leur analyse de données, car sa flexibilité lui permet de modéliser des fichiers de données variés. 

Vos données sont asymétriques vers la droite ? La loi de Weibull peut les modéliser. Vos données sont asymétriques vers la gauche ? La loi de Weibull s'en charge. Vos données sont symétriques ? La loi de Weibull est là pour vous. Cette polyvalence est la raison pour laquelle les ingénieurs se servent de la loi de Weibull pour évaluer la fiabilité et la résistance des matériaux qui composent aussi bien des tubes à vide que des condensateurs, en passant par des roulements à billes et des relais.

La loi de Weibull permet également de modéliser des fonctions de risque décroissantes, croissantes ou constantes ; elle peut décrire n'importe quelle phase de la durée de vie d'un produit.

QUELLES SONT LES DIFFÉRENTES FORMES DE LA COURBE DE WEIBULL ?

A quel point la loi de Weibull est-elle flexible ? Prenons plusieurs exemples en accédant à l'option Graphique > Diagramme de loi de probabilité dans Minitab Statistical Software (Si vous souhaitez suivre en même temps mais que vous ne disposez pas encore de Minitab, téléchargez la version d'essai gratuite de 30 jours.

 

Sélectionnez Visualisation simple, puis Weibull dans le menu déroulant Distribution. Dans la boîte de dialogue qui s'ouvre, vous pourrez indiquer trois paramètres : la forme, l'échelle et le seuil.  

Le paramètre Seuil précise le décalage de la distribution à partir de 0, un seuil négatif décalant la distribution à gauche de 0 et un seuil positif la décalant à droite. Toutes les données doivent être supérieures au seuil. Le paramètre Echelle correspond au 63,2e centile des données et définit la relation de la courbe de Weibull avec le seuil, de la même manière que la moyenne définit la position d'une courbe normale. Pour nos exemples, nous allons utiliser une échelle de 10, qui indique que 63,2 % des produits testés rencontreront une défaillance au cours des 10 premières heures suivant l'heure du seuil. Le paramètre Forme décrit la forme de la courbe de Weibull. En modifiant la forme, vous pouvez modéliser les caractéristiques de nombreuses répartitions différentes sur la durée de vie.

Pour cet article, je vais me concentrer exclusivement sur l'incidence du paramètre de forme sur la courbe de Weibull. Je vais vous présenter les valeurs une par une, mais si vous préférez les visualiser ensemble sur un même graphique, choisissez l'option Varier les paramètres dans la boîte de dialogue indiquée ci-dessus. 

 

LOI DE WEIBULL AVEC UNE FORME INFERIEURE À 1

Commençons avec une forme comprise entre 0 et 1. Le graphique ci-dessous montre que la probabilité décroît de manière exponentielle depuis l'infini. Concernant le taux de défaillance, les données qui suivent cette répartition présentent un nombre élevé de défaillances initiales, mais ce chiffre décroît au fil du temps, à mesure que les produits défectueux sont retirés de l'échantillon. Ces défaillances précoces surviennent au début de la durée de vie d'un produit.  

 

LOI DE WEIBULL AVEC UNE FORME EGALE À 1

Si la forme est égale à 1, la loi de Weibull décroît de manière exponentielle de 1/alpha, où alpha = le paramètre d'échelle. En somme, cela signifie que le taux de défaillance reste constant au fil du temps. Cette forme de la loi de Weibull est appropriée pour les défaillances aléatoires et les défaillances dues à plusieurs causes, et peut être utilisée pour modéliser la durée de vie utile des produits. 

 

LOI DE WEIBULL AVEC UNE FORME COMPRISE ENTRE 1 ET 2

Si la valeur de la forme est comprise entre 1 et 2, la loi de Weibull forme rapidement un pic, puis décroît au fil du temps. Globalement, le taux de défaillance augmente, mais la hausse la plus rapide survient au début. Cette forme est révélatrice de défaillances d'usure précoces. 

 

LOI DE WEIBULL AVEC UNE FORME EGALE À 2

Si la valeur de la forme est de 2, la loi de Weibull modélise un taux de défaillance qui augmente de manière linéaire, avec un risque de défaillance d'usure qui augmente de façon constante au cours de la durée de vie du produit. Cette forme de la loi de Weibull est également appelée la loi de Rayleigh. 

 

LOI DE WEIBULL AVEC UNE FORME COMPRISE ENTRE 3 ET 4

Si nous indiquons une valeur comprise entre 3 et 4 pour la forme, la loi de Weibull devient symétrique et prend une forme de cloche, comme la courbe normale. Cette forme de la loi de Weibull modélise des défaillances d'usure rapides à la fin de la durée de vie d'un produit, lorsque la plupart des défaillances surviennent.

 

LOI DE WEIBULL AVEC UNE FORME SUPERIEURE À 10

Si la valeur de la forme est supérieure à 10, la loi de Weibull est semblable à une loi des valeurs extrêmes. Cette forme de la loi peut modéliser la fin de la durée de vie d'un produit. 

 

LA LOI DE WEIBULL EST-ELLE TOUJOURS LA MEILLEURE OPTION ? 

Pour des considérations de fiabilité, la loi de Weibull est souvent la loi choisie par défaut, mais n'oubliez pas qu'il existe également d'autres familles de lois capables de modéliser diverses formes de distributions. La loi la plus ajustée à vos données n'est peut-être pas une forme de la loi de Weibull. Par exemple, les défaillances produit causées par des réactions chimiques ou dues à la corrosion sont généralement modélisées avec la loi log-normale.

Vous pouvez évaluer l'ajustement de vos données à l'aide du diagramme d'identification de répartition de Minitab (Stat > Fiabilité/Survie > Analyse de répartition (troncature à droite ou troncature arbitraire)). Si vous souhaitez obtenir plus de détails à ce sujet, consultez cet article de Jim Frost ; il vous aidera à identifier la répartition de vos données.  

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